Cálculo Mental

É importante que as pessoas desenvolvam suas próprias técnicas de cálculo e não fiquem limitadas a um único processo. Além disso, o cáculo mental estimula a compreensão do sistema de numeração decimal. Por exemplo, quem decompõe mentalmente o número 123 em 100 + 20 + 3, mostra que compreende o princípio aditivo e o valor posicional do nosso sistema de numeração. 

No cálculo usamos, intuitivamente, uma série de propriedades da adição. Por exemplo:

Neste cálculo foram usadas estas idéias:
» numa adição podemos trocar a ordem das parcelas e o resultado não se altera;
» numa adição com três parcelas podemos associá-las de qualquer maneira.

Ao praticar o cálculo mental precisamos, primeiro, observar os números que vão ser somados para, em seguida, escolher um procedimento vantajoso: somar os iguais? Apoiar-se no dez, no cem ou no mil? Decompor as parcelas e associá-las convenientemente? Usar um "número redondo"? Qual é o processo mais adequado? Além disso, às vezes, depois de escolhido um procedimento, percebemos que há outro melhor. Tudo isto estimula o raciocínio.

Em resumo, há inúmeras razões que justificam o emprego do cálculo mental. As crianças que são estimuladas a efetuar o cálculo mental demonstram, em geral, mais segurança ao enfrentar situações-problema: mostram-se mais autônomas e com uma capacidade mais ampla de escolher caminhos para obter a solução de um problema. Por fim, parecem compreender com mais facilidade as técnicas usuais de cálculo, como a do "vai um", por exemplo.

Fonte: <http://educar.sc.usp.br/matematica/m2p1t4.htm>

Técnicas de Cálculos e Operatórias

“A criança e o número” ideia defendida por Constance, parte da premissa de que a criança não aprende com  a memorização e o treino, mas sim criando o próprio raciocínio sobre as situações. 

As situações-problema propostas pelo educador ou durante uma discussão entre colegas, é que a farão chegar no resultado correto usando o próprio raciocínio a partir da mediação do educador. Decorar não é aprender. Piaget também defende essa ideia. É o que nos mostra Barry J. em “Piaget para o professor da pré-escola e do 1º grau”. Piaget acredita que a aprendizagem é real e significativa. 

Aquilo que fica em nós mesmo depois de muitos anos e isso também é possível com a matemática.

Quando trabalhamos da maneira tradicional, por meio da memorização as crianças não aprendem de fato, pelo contrário se prejudicam na base do conhecimento, pois não conseguem dar sequencia em seu aprendizado.

Os resultados de cálculos, em sua maioria, são decorados e, a resolução do problema, que pode ser por diferentes vias, acaba sendo confuso, pois o aluno acredita que sabe chegar ao resultado, mas na verdade decorou. Conseguimos verificar essa deficiência quando trocamos os números ou a posição da contas, que faz com que se confundam e não conseguem chegar ao resultado correto.

A criança necessita de ser estimulada para aprender os cálculos matemáticos e isso só acontece se o professor, com sua própria motivação, usa os recursos que tem para transformar a aula em situações realistas e divertidas.

Um exemplo é o uso de jogos para ensinar as operações matemáticas.

Autores:

- KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: Editora Papirus, 2000.

- WADSWORTH, Barry J.

Piaget para o professor da pré-escola e do 1°grau. São Paulo:Pioneira, 2004 

Operações Matemáticas no Cotidiano

1 - Contar as moedas do cofrinho
2 - Quantos dias faltam para seu aniversário
3 - Contar quantos presentes ganhou
4 - Quantos dias tem a semana e o mês
5 - Conferir o troco quando fornecemos uma quantia superior ao valor do produto adquirido
6 - Medir a sua altura
7 - Calcular a distancia entre sua casa e a escola
8 - Medir o comprimento de algo
9 - Calcular a média final na escola
10 - Partilhar objetos em partes iguais entre os colegas
11 - Calcular os juros que teremos de pagar ao atrasar uma conta
12 - Comparar preços no supermercado
13 - Calcular o consumo de combustível do veículo
14 - Acompanhar uma receita enquanto prepara um bolo
15 - Vender algo para alguém
16 - Calcular os gastos mensais
17 - Conferir o salário
18 - Ponto eletrônico e relogio
19 - Se programar para não chegar atrasado a um compromisso
20 - Contar as ligações perdidas no celular.

Fração com Fichas

Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

Assim, podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários que iremos estudar nesta seção.

Podemos ensinar fração por meio de fichas, mas temos que tomar cuidado, pois elas precisam manter as cores para garantir o correto raciocínio da criança.
O tamanho deve ser igual e apenas a parte fracionada é que deve ser destacada com outras cores.

Tangram

Tangram é um jogo muito utilizado pelos professores de matemática para apresentar aos alunos da educação infantil e do ensino fundamental (até o 6º ano) formas geométricas, trabalhar a lógica e a criatividade, retas, seguimentos de retas, pontos e vértices.

Um pouco de história

Quando surgiu, de onde veio, quem inventou, são dúvidas que nunca foram esclarecidas sobre esse jogo. Existem inúmeras lendas sobre a história do Tangram. Dentre elas a mais comentada é que: um monge chinês deu uma tarefa a seu discípulo, pediu que ele fosse percorrer o mundo em busca de ver e relatar todas as belezas do mundo, assim deu para ele um quadrado de porcelana e vários outros objetos, para que pudesse registrar o que encontrasse. Muito descuidado deixou a porcelana cair, essa se dividiu em 7 pedaços em forma de quadrado, paralelogramo e triângulo. Com essas peças ele notou que poderia construir todas as maravilhas do mundo.

Construção

Quando o professor propuser aos seus alunos o trabalho com Tangram é importante que deixe que eles o construam. O Tangram pode ser construído com EVA ou com papel cartaz, então é preciso que o professor peça que os alunos levem para a próxima aula:

Papel cartaz ou EVA.
Régua
Lápis preto
Borracha

Agora, veja passo a passo como funciona a construção do Tangram.

1º passo: Recorte o EVA ou o papel cartaz em forma de um quadrado:

2º Passo: Trace um segmento de reta que vai do vértice b ao vértice h, dividindo o quadrado em dois triângulos iguais.

3º Passo: Para encontrar o ponto médio do segmento de reta BH, pegue o vértice A e dobre até o segmento BH o ponto de encontro do vértice A e do segmento BH será o ponto médio de BH.

 

Agora trace um segmento de reta que vai do vértice A ao ponto D, formando três triângulos.

4º passo: Dobre o vértice J até o ponto D assim formando dois pontos, um no segmento BJ e outro no segmento HJ.

Agora trace um segmento de reta do ponto E ao ponto I.

5º Passo: Trace uma reta perpendicular do ponto D ao segmento EI.

6º Passo: Trace dois segmentos de reta paralelos ao segmento DG e outro ao lado AH.

Assim, dizemos que um Tangram possui dois triângulos grandes, três triângulos menores, um paralelogramo e um quadrado. Veja essas figuras destacadas:



Recorte todas essas figuras geométricas e terá as sete peças do Tangram.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equipe Brasil Escola

Segue abaixo alguns exemplos de desenhos feitos com Tangram.

Construção da Unidade de Milhar

Com  poucos recursos podemos montar uma pescaria para aprender a Construção da Unidade de Milhar.

É necessário papel cartão, cola, papel A4 para montar o cartaz de referencia para os alunos e Placa de EVA ou uma caixa com areia, para simular o rio e, é claro, anzóis.

Nessa brincadeira, os peixinhos precisam ser coloridos e a referência de valor deve corresponder as mesmas cores.

Exemplo:

1 Peixe Rosa vale 1 unidade.

1 Peixe Amarelo vale 1 dezena.

1 Peixe Azul vale 1 centena.

1 Peixe Laranja vale 1 unidade de milhar.

Depois é só explicar como funciona:
Separados por grupo, cada um representa seu grupo uma vez e ao final soma-se o valor correspondente a quantidade de peixinhos e quem tiver mais, ganha.
Exemplo: Grupo A conseguiu pescar 4 peixes rosa, 2 amarelo e 1 azul que vai ser igual a 124 peixinhos.
Dessa forma, eles vão trabalhar a ordem da construção da unidade de milhar e vão conseguir fazer adições ao juntar a quantidade de peixinhos.

Classe Numérica - Cartaz

Sabemos que recursos são poucos, mas basta usarmos a criatividade para apresentarmos aos alunos conteúdos de forma atrativa e divertida.

A sugestão abaixo é referente as classes: Unidade, Dezena, Centena e Unidade de Milhar.

Foram utilizados para confeccionar o cartaz apenas: Papel crepom, cartolina, papel cartão, durex e cola.

Na cartolina faz a divisão das unidades, dezenas centenas e unidades de milhar.

Depois, com o papel cartão de outra cor fazer vários números, para representar a numeração para os alunos.

E, várias formas de coração ou outra figura para representar a quantidade relacionada ao numero apresentado.

Veja o exemplo abaixo:

Numero utilizado: 1523

Após apresentar o número, chamar a criança para representar com a quantidade relacionada no cartaz, conforme figura acima.

Interessante se separar em grupos, por exemplo, quatro grupos com um cartaz (pronto ou que eles mesmo confeccionariam) e ai fala-se o comando com o número e a equipe que representar a numeração primeiro e corretamente ganha.

Não esquecer do durex para pregar atras da figura e dos números, pois assim dá para utilizar várias vezes e tornar a brincadeira mais competitiva e prazerosa.

Vivência com Material Dourado - Multiplicação por Dezena - Expandido

Sugestões de Aulas: Seriação, Classificação

Educação Infantil

Números e sistemas de Numeração; espaço e forma; grandezas e medidas.

Estratégias e recursos da aula

Problematização
Inicie esta aula, fazendo os seguintes questionamentos:
"Todos somos do mesmo tamanho"?
"Quem é o(a) maior da turma"?
"E o(a) menor"?
Instigue as crianças a levantarem diversas hipóteses, registre estas hipóteses.
Como podemos fazer para comprovar nossas hipóteses? Registre as soluções.
Proponha a comprovação destas hipóteses através das atividades listadas abaixo.

Sugestão
Uma ótima idéia para explorar o tamanho das crianças na sala é o plantio de Girassóis. Estas plantas costumam crescer rápido e chega a atingir 3 metros de altura, podendo assim comparar o tamanho dos girassóis ao tamanho das crianças, e ainda seriar os girassóis à medida em que eles forem crescendo. 

Atividades
Comparando o tamanho das crianças da sala – Seriação.
Providencie uma folha de papel Kraft grande para cada criança da sala;  
Peça que as crianças deitem no chão, e solicite que um amigo da turma faça o contorno do corpo das crianças com caneta hidrocor;   
Com os moldes prontos proponha que as crianças descubram qual é o seu molde;                                                                                             
Organize na sala uma seqüência do menor para o maior;   
Assim que cada criança descobrir qual é o seu molde, cole uma foto delas na cabeça do molde e ao lado de cada molde cole uma ficha com os nomes de cada criança.   
Aproveite para trabalhar as diferenças que poderão aparecer: quem é o amigo maior da turma? E o menor?   
Entregue barbantes para as crianças eIn solicite que elas meçam com os barbantes seus moldes. Solicite também que elas fixem estes barbantes juntamente com as fichas de nomes.   
Como registro, proponha que cada criança enfeite com papel picado seu molde.

Medindo com azulejos - Correspondência numérica.
Dentro das possibilidades do espeço físico da escola, se houver uma parede azulejada, meça com os alunos a altura de cada criança da sala. Outra possibilidade é desenhar azulejos (com cerca de 15 cm por 15 cm) em folhas de papel pardo ou similar para depois fixá-las em uma parede, permitindo assim, que as crianças comparem suas alturas.
Construa uma tabela para registrar a altura (em azulejos) das crianças;
Analise com as crianças a tabela e faça com elas a observação das diferenças nos registros: "Quem é o mais alto da sala? Quantos azulejos ele mede de altura? (neste momento explore a corresponência numeral quantidade e solicite que as crianças façam o registro deste numeral), Há crianças com a mesma altura?
Esta atividade de medida de altura pode ser repetida ao longo do ano para que as crianças percebam o quanto cresceram.

Classificando com as letras do meu nome.
Solicitar que as crianças escrevam seus nomes em fichas;  
Estas fichas serão utilizadas para identificar as medições com os azulejos; 
Com as crianças dispostas em Roda, espalhar as fichas no centro da Roda (todas com os nomes virados para baixo);   
Pedir que uma a uma, cada criança retire uma ficha do centro da Roda (caso ela pegue a própria ficha, oriente-a devolver a ficha e pegar outra);   
Pedir que cada criança leia o nome da ficha retirada e agrupe novas palavras que inicie com a letra inicial do nome escolhido. Por exemplo: Lucas – leite, lápis, livro, etc.   
Continue a atividade até que todas as crianças tenham participado;   
Crie um banco de palavras na sala, com as palavras agrupadas na brincadeira;   
Este banco de palavras poderá ser usado sempre que alguém encontrar dúvidas para ler ou escrever determinada palavra.

Recursos Complementares

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=10269 

Avaliação

Além do painel individual que será produzido, registrando as conclusões do grupo, a professora observará toda a dinâmica do trabalho (como as crianças se organizam no trabalho em grupo, como é a participação e envolvimento de cada membro observando elementos de clareza, coerência e encadeamento de idéias e ainda, a iniciativa na obtenção dos recursos necessários para a realização das atividades).

Curiosidade

História dos Números

Ensino Fundamental: 5º ano.

Introdução sobre a origem dos números

Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para pensar sobre:

1. O modo como surgiram os números?
2. Como foram as primeiras formas de contagem?
3. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que tenha gerado os números.

Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.

Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.

Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a presença dos números.

O Início do processo de contagem

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas, proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida humana.

As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.

A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.

No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha.

A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

 

Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos ainda a correspondência unidade a unidade.

Representação numérica

Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.

A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.

O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.

"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.

Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidades.

Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.

Alguns símbolos antigos

No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:

I	II	III	IIII	IIIII	IIIIII	IIIIIII	IIIIIIII	IIIIIIIII
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:

I	II	III	IIII	IIII I	IIII II	IIII III	IIII IIII	IIII IIII I
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:

Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia, criado a aproximadamente 4 mil anos.

Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.

O ábaco

O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas

No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.

O Sistema de numeração Indo-Arábico

Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.

O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.

Inglês	Francês	Latim	Grego	Italiano	Espanhol
three	trois	tres	treis	tre	tres

Sueco	Alemão	Russo	Polonês	Hindu	Português
tre	drei	tri	trzy	tri	três

Notas históricas sobre a atual notação posicional

Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).

Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo.

Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.

Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismos arábicos, de uma forma errada.

Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.

Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.

Cada algarismo tinha um nome:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
eka	dvi	tri	catur	pañca	sat	sapta	asta	nava

Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:

10            = dasa
100           = sata
1.000         = sahasra
10.000        = ayuta
100.000       = laksa
1.000.000     = prayuta
10.000.000    = koti
100.000.000   = vyarbuda
1.000.000.000 = padma

Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava:

9	700	3000
nove	sete centos	três mil
nava	sapta sata	tri sahasra

Poderiamos escrever o número 12.345 como

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:

5      = pañca
40     = catur dasa
300    = tri sata
2.000  = dvi sahasra
10.000 = ayuta

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

Esta já era uma forma especial.

Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:

pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta

passou a ser escrito apenas:

54321 = pañca catur tri dvi dasa

12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000

e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321 e 301.

321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100

321 = dasa dvi tri

301 = 1 + 3 x 100

301 = dasa tri

É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:

31 = 1 + 3 x 10

31 = dasa tri

No número 301 faltava algo para representar as dezenas.

Para construir este material, usamos algumas partes do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a permissão da Editora.

Notas históricas sobre a criação do zero

Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).

Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever:

301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.

Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.

Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713 escrito claramente:

triny	ekam	sapta	sat	trini	dve	catvary	ekakam
três	um	sete	seis	três	dois	quatro	um

Escrever tais números na ordem invertida, fornece:

um	quatro	dois	três	seis	sete	um	três
1	4	2	3	6	7	1	3

Números como 123.000 eram escritos como:

sunya sunya sunya tri dvi dasa

que significa:

zero zero zero três dois um

que escrito na ordem invertida fornece:

um dois três zero zero zero

No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição".

Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos.

Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.

Notação Posicional

O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.

No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.

Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral.

Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando as posições dos algarismos teremos 21.

12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1

O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.

Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.

Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.

A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.

Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.

Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360 graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e 60 é um dos menores números com grande quantidade de divisores, como por exemplo:

D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.

Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.

O Sistema Romano de Numeração

O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja, sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia dos algarismos romanos.

Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:

Letra	I	V	X	L	C	D	M
Valor	1	5	10	50	100	500	1000
Leitura	Um	Cinco	Dez	Cinquenta	Cem	Quinhentos	Mil

Estas letras obedeciam aos três princípios:

1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.
   VI = 5 + 1 = 6
   XII = 10 + 1 + 1 = 12
   CLIII = 100 + 50 + 3 = 153
2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior.
   IX = 10 - 1 = 9
   XL = 50 - 10 = 40
   VD = 500 - 5 = 495
3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão.
   

Fonte: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm> Acesso: 12 de novembro de 2014

Aprendendo a usar o Material Dourado

Recurso: Material Dourado.

Organize a turma em grupos de 4 alunos e disponibilize uma caixa de Material Dourado para cada grupo e 4 sinais de adição, 4 sinais de igualdade e numerais feitos em papéis.

Proponha um momento para os alunos realizarem operações de adição sem reserva, utilizando o Material Dourado e usando a menor quantidade de peças. Exemplo: Para formar o número 20, os alunos devem mostrar 2 barrinhas e não 20 cubinhos.

Em seguida, explique à turma que você irá ditar uma operação de adição e os alunos deverão montá-la na mesa, usando o Material Dourado, os sinais e para apresentar o resultado, os alunos deverão utilizar os numerais.

Veja a operação ditada:

30 + 5

Se você já introduziu o conceito de centena a atividade poderá ser realizada com números maiores.

Operação ditada:

350 + 140

Exemplo utilizando a unidade de milhar: 2326 + 1052

                                   +

           = 3378

Realize várias situações de adição para o entendimento da turma. Logo após prepare uma atividade sobre o jogo para ser registrada no caderno de Matemática. Veja alguns exemplos:

Observe a adição com Material Dourado, depois preencha o resultado e escreva como se diz a operação por meio de dezenas e unidades.

    

Fonte: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=53213> Acesso em: 10 de novembro de 2014